Bài Tập Ánh Xạ Tuyến Tính Có Lời Giải

Trong lịch trình toán cao cấp môn đại số và hình học tập giải tích, để nắm rõ hơn về ánh xạ tuyến tính , bài viết này glamourla.vn sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với những dạng bài xích tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp gỡ trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!


1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

V→W từ không khí vecto V đến không khí vecto W hotline là ánh xạ tuyến đường tính nếu vừa ý 2 đặc điểm sau:

+ f(x,y)=f(x)+f(y)

+f(kx)=kf(x)

∀ x, y∈V, ∀ k∈ R

Ví dụ: mang đến R2→R3, Xét coi ánh xạ f liệu có phải là ánh xạ tuyến tính giỏi không

f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) với y=(x2,y2)

– f(x+y)=(x1 + x2, y1 + y2)

=(x1 + x2 + y1 + y2,0, 2x1 + 2x2 + 2y1 + 2y2)

= (x1+y1, 0, 2x1 + 2y1 )+(x2,+y2 , 0, 2x2 +y2 )

= f(x)+f(y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (kx 1 + ky 1 , 0, 2kx 1 + 2ky 1 )

= k (x 1 + y 1, 0, 2x 1 + 2y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến đường tính

2. Ma trận của ánh xạ tuyến đường tính

V là không khí vecto với đại lý S

W là không khí vecto với đại lý T

Ma trận của f theo cửa hàng S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f(s) theo cơ sở T

Cách tra cứu ma trận của ánh xạ tuyến đường tínhTìm ảnh f(s)Tìm toạ độ T

Ví dụ: Viết ma trận bao gồm tắc của ánh xạ f: R3→R4

f (a, b, c) = (a + b + c, b, bc, a + c)

Giải

Có thể viết lại thành dạng cột:

*

*

Ví dụ: search ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2

f (a, b, c) = (b + c, 2a-c)

S = u 1 (1,0,1), u 2 (4,3,3), u 3 (1,2,1)

T = (2,2), (1,7)

Giải

Tìm ảnh f(s):

f (u 1 ) = f (1,0,1) = (1,1)

f (u 2 ) = f (4,3,3) = (6,5)

f (u 3 ) = (1,2,1) = (3,1)

Tìm toạ độ T

*

Vậy ma trận S – T là:

*

Bài tập ánh xạ tuyến tính

1.Ánh xạ f: R2 → R2 liệu có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (x, y + 1)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) với y=(x2,y2)

– f (x + y) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 )

= (x 1 + x 2 ,  y 1 + y 2 + 1)

= (x 1 , y 1 +1) + (x 2 , y 2 )

≠ f (x) + f (y)

Vậy ánh xạ vẫn cho chưa phải là ánh xạ tuyến đường tính

2.Ánh xạ f: R2 → R2 liệu có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (y, y)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) cùng y=(x2,y2)

– f (x + y) = (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 )

= (y 1 + y 2 ,  y 1 + y 2 )

= (y 1 + y 1 ) + (y 2 , y 2 )

= f (x) + f (y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (ky 1 , ky 1 )

= k (y 1, y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ con đường tính

3.Viết ma trận thiết yếu tắc của ánh xạ f: R3→R3

f (a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c)